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多条直线分割多个圆有公式吗?十一条直线分割七个圆,最多能分成多少个图形?

来源:学生作业帮 编辑:多看做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2021/09/26 08:03:57
多条直线分割多个圆有公式吗?十一条直线分割七个圆,最多能分成多少个图形?
最多把平面分成264个部分.
设m条直线,n个圆,最多分成S(m,n)个部分.
先求S(0,n)设n个圆最多可以把平面分成S(n)个部分.前n-1个圆最多将平面分成S(0,n-1)个部分,此时,对于第n个圆来说,它与先前的n-1个圆最多有2(n-1)个交点,即此第n个圆最多被这2(n-1)个交点分成2(n-1)条圆弧段.由于每增加一个圆弧段,便可将原来的某个区域分为两个区域.因此,第n个圆使平面增加了2(n-1)个区域.因此可得递推关系式:S(0,n)=S(0,n-1)+2(n-1),其中n大于等于2.
由此递推关系式得到:
S(0,n)=S(0,1)+2×1+2×2+...+2×(n-1)=2+n(n-1)=n^2-n+2;
即n个圆最多可以把平面分成(n^2-n+2)个部分.
然后看加m条直线的情况,这时候,每添设已经添了m-1条直线,考虑添第m条直线的情况.对于第m条线来说,它与先前的n个圆最多有2n个交点,与先前的m-1条直线,最多有m-1个交点,所以这条直线,最多被分为2n+m-1+1=2n+m个部分.由于每增加一个线段,便可将原来的某个区域分为两个区域.因此,第m条线使平面增加了2n+m个区域.因此可得递推关系式:S(m,n)=S(m-1,n)+2n+m.
得S(m,n)=S(0,n)+(2n+1)+...+(2n+m)=S(0,n)+2nm+m(m+1)/2=n^2-n+2+2nm+m(m+1)/2.
代入m=11,n=7,得S(m,n)=7^2-7+2+2×7×11+11×12/2=264.